중간을 반복해서 뺀 눈금도 두 좌표를 더하면 빈틈을 메울 수 있을까요? 트리니티 칼리지 더블린의 강의는 가운데 삼분의 일을 계속 제거하는 칸토어 집합을 설명해요. 실제 눈금 제작 대신 무한히 반복하는 종이 규칙을 비교해 봐요.
C는 삼진소수 자리에0이나2만 써서 얻는 좌표 전부예요. n은1부터 시작하는 자리 번호, dₙ은 그 자리 숫자다. 각 항은2/3ⁿ 이하라 등비급수 ∑2/3ⁿ=1로 수렴을 확인해요. 모두0 또는2면0과1입니다. x와 y는 C에서 독립으로 고르는 무차원 실수예요. 규칙 A는 x+y/3, B는 x+y/9를 출력해요. Sλ는 해당 규칙의 전체 출력집합이에요. 두 규칙 중0부터1까지 모든 목표좌표를 만들 수 있는 것을 골라 봐요.
먼저 C+C는 두 허용좌표의 산술합 집합이지 합집합이 아니에요. 0≤z≤2이면 z/2를 삼진소수로 써요. 그 각 자리0·1·2를 두 좌표의 자리쌍(0,0)·(2,0)·(2,2)로 나누면 합이 z입니다. 양쪽 모두0·2만 써서 C에 속해요. 따라서 최솟값과 최댓값만 맞는 것이 아니라 그 사이 모든 합이 실제로 나와요.
C/3은 C의 모든 좌표를3으로 나눈 집합이에요. C의 첫 자리만 나누면 C/3과2/3+C/3 두 부분이에요. A의 출력은 앞 부분에서[0,2/3], 뒤 부분에서[2/3,4/3]을 채워요. B는 첫 두 자리를 나눠요. 시작값0·2/9·2/3·8/9 각각에[0,2/9]를 더한 네 구간이 나오고, 서로 닿는 구간끼리 합쳐요.
답은 A입니다. 목표1/2는 x=1/4,y=3/4로 만들어요. 두 좌표의 삼진소수는 각각0.0202…와0.2020…라 허용돼요. B에서는1/2가 빈 구간(4/9,2/3)에 있어 불가능해요. 양 끝4/9와2/3은 B에서도 각각(x,y)=(1/3,1),(2/3,0)으로 만들어요. 닫힌 경계를 빠뜨리지 말아요. 몇 단계 그림이 이어져 보인다는 추측 대신, 임의의 목표값에 대응하는 두 좌표를 구성하는 것이 이 활동의 핵심이에요.
출처·착안: MAU22200 Lecture12 — The Cantor Set (1/3),(2/3),(3/3)