중복 행을 지우면 추정값도 덜 흔들릴까요? 세 상자의 무게를 표본 장부로 추정하는 자체 종이 모형을 살펴봐요. 실제 조사 자료가 아니에요.
A·B·C의 고정 무게 yᵢ는 0 이상의 실수이며 kg 단위예요. 라벨 하나를 같은 확률로 뽑아 되넣은 뒤 다시 뽑아요. 두 추첨은 독립이고 AA부터 CC까지 순서 있는 아홉 기록의 확률은 각각1/9입니다. 총무게를 T, 무게 제곱합을 S₂라 해 볼까요?
장부 R은 같은 상자의 행도 모두 남겨요. 장부 U는 같은 상자면 한 행만 남겨요. Nᵢ는 i가 나온 횟수, Iᵢ는 한 번이라도 나왔으면1, 아니면0입니다. 상자별 고정 곱수를 정해 어떤 무게에서도 추정값의 기댓값을 T로 맞춰 봐요. E는 아홉 기록의 확률을 곱해 더한 평균이에요.
Nᵢ의 평균은2/3, Iᵢ의 평균은5/9입니다. 한 상자만 양수인 무게도 맞아야 하므로 곱수는 각각3/2,9/5로 유일해요. i는 A·B·C를 모두 돌아요.
두 추정의 평균은 T지만 분산은 같지 않아요. 분산 V는 각 기록의 추정값과 T의 차이를 제곱한 것의 평균이며 kg² 단위예요. 같은 아홉 기록으로 계산하면
U가 덜 흔들릴 필요충분조건은21S₂>11T²입니다. 같으면 동률이고, 부등호가 반대면 R이 더 작아요. (1,1,1)kg에서는 R의 분산0, U는18/25입니다. (3,0,0)kg에서는 R9, U36/5라 선택이 뒤바뀌어요. 중복 삭제가 곧 오차 감소인지 두 무게표를 대입해 비교해 봐요. 비교는 이 두 곱수 규칙에만 한정하며 모든 추정법의 최적을 뜻하지 않아요.
착안: Statistics Canada §3.1. 선택 횟수와 포함 여부를 구별한 원리에서 출발한 자체 상자·장부·비교이며, 원문 가구 자료나 도표를 옮기지 않았어요.