북위 30도를 넘지 않고 두 점을 잇는 가장 짧은 길은?

지구본의 북위30도 두 점 사이에 실을 놓아요. 북위30도보다 북쪽으로 가지 못하면 가장 짧은 실은 어떤 모양일까요? 내셔널지오그래픽은 구면의 최단 경로로 대권의 호를 설명해요. 여기서는 통과할 위도를 제한한 종이 모형을 따로 계산해 봐요.

반지름1cm인 완전한 구면에서 위도φ와 경도λ는 라디안이에요. t는0부터1까지의 이동 매개변수예요. 두 함수는 연속이고 유한한 구간으로 나누면 각 구간에서 연속 미분 가능해요. 전 구간에서0≤φ≤π/6이며 양 끝 위도는π/6입니다. 경도는−π/4에서π/4+2πk로 가요. k는 정수이고 한 바퀴 더 돌거나 되돌아가고 멈추는 것도 허용해요. X는 cm단위 위치, L은 길이예요. 프라임은 t에 대한 미분이에요.

\begin{aligned}X(t)&=(\cos\phi\cos\lambda,\cos\phi\sin\lambda,\sin\phi),\\L&=\int_0^1\sqrt{\phi\prime{}^2+\cos^2\phi\,\lambda\prime{}^2}\,dt.\end{aligned}

합성함수의 미분법으로 위치의 변화율을 구해요. 위도 방향과 경도 방향의 변화가 서로 수직이어서 속력의 제곱은 두 항의 합이에요. 허용 위도에서는cosφ≥√3/2입니다. 위도 변화 항을 버리고 경도 이동량만 남기면 모든 경로에 같은 하한이 생겨요. 경도가 되돌아가면 절댓값 이동량이 늘고, 추가 회전도 끝점 차의 절댓값을 키운다.

\begin{aligned}L&\ge\frac{\sqrt3}{2}\int_0^1|\lambda\prime|\,dt\\&\ge\frac{\sqrt3}{2}|\pi/2+2\pi k|\\&\ge\frac{\sqrt3\pi}{4}.\end{aligned}

북위30도를 유지하며 경도를−45도에서45도까지 늘리는 위도원 호가 하한√3π/4cm를 달성해요. 답은 이 호예요. 등호가 되려면 위도가 변하지 않고 경도도 감소하지 않아야 해요. 따라서 가장 짧은 경로의 모양은 하나지만 속도를 바꾸거나 잠시 멈추는 매개화는 여러 개예요.

두 점의 짧은 대권호는 가운데에서 북위30도보다 북쪽으로 올라가므로 이번 조건에 맞지 않아요. 대권이 일반적으로 짧다는 사실로 허용 경로의 답을 대신하지 말고, 모든 허용 경로의 하한과 이를 실제 달성하는 호를 함께 확인해 볼까요?

출처·착안: Great Circle

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