접었다 펴도 두 모양에 머무는 물체에서 착안해, 두 바닥의 높이를 맞추는 종이 계산 모형을 살펴봐요. Cambridge의 설명에는 펴진 모양과 말린 모양이 모두 안정한 관이 나와요. 여기서는 실제 관의 에너지나 제작 조건을 추정하지 않고 자체 점수 E를 정해요.
x와 h는 단위 없는 실수이며, x의 범위는 실수 전체예요. h는 바꿀 수 있는 계수예요.
‘바닥’은 주변보다 낮다는 뜻이 아니라 실수 전체에서 가장 낮은 점수예요. 서로 다른 두 바닥이 같은 최솟값을 갖게 하는 h 전부와 그 두 위치를 구해 볼까요? 두 위치는 미리 정하지 않아요.
최고차항이 양수인 사차식이므로 양끝에서 점수가 무한히 커지고, 연속성으로 최솟값이 존재해요. 두 바닥을 α<β, 공통 점수를 M이라 해 볼까요? E−M은 실수 전체에서 음수가 되지 않아요. 그 근이 홀수 번 겹치면 양옆에서 부호가 바뀌므로 각 근은 적어도 두 번 겹쳐요. 차수가 4이므로 E−M은 (x−α)²(x−β)²/4입니다.
S=α+β, P=αβ로 놓고 양변을 전개해요. 삼차항과 이차항의 계수 비교에서 S=4/3, P=−53/9를 얻어요. 일차항은 −SP/2=6−h이므로 h는 아래 하나로 강제돼요. 상수항은 M=−P²/4입니다.
오른쪽은 모든 실수에서 0 이상이고 정확히 α,β에서만 0입니다. 따라서 필요조건이 실제로 충분하며, 최솟값은 −2809/324입니다. 다른 h에서 두 바닥이 생기면 앞의 계수 비교와 모순이므로 바닥은 하나뿐이에요.
대조로 h=0에서는 x=−2의 점수 −38/3과 x=3의 점수 −9/4가 달라요. 두 낮은 곳을 찾는 것만으로 높이가 같다고 쓰지 않아요. 접점 좌표를 먼저 고정한 풀이와, 음수가 아닌 식의 두 근에서 위치와 계수를 함께 복원한 풀이를 구별해 봐요.
착안: Cambridge, Bistable Tubes. 식과 증명은 자체 모형이에요.