열두 음의 비율, 몇 개까지 정확히 맞출 수 있을까요?

열두 음의 비율을 한꺼번에 정확히 맞출 수 있을까요? 장3도의 비5/4와 옥타브의 비2에서 착안한 종이 모형이에요. 실제 악기의 조율법이나 듣기 좋은 정도를 판단하지 않아요.

주파수를 맨 아래 값으로 나누어1=f₀<f₁<…<f₁₁<2로 놓아요. 한 옥타브 위는 두 배예요. 각 음에서 네 칸 위로 갈 때 비가5/4라는 열두 조건 중 최대 몇 개를 맞출 수 있을까요?

네 칸씩 이동하면0·4·8,1·5·9,2·6·10,3·7·11의 네 회로로 나뉘어요. 각 회로의 세 비는 곱이2여야 해요.

\begin{gathered} f_{i+12}=2f_i,\qquad q_i=\frac{f_{i+4}}{f_i},\\ q_rq_{r+4}q_{r+8}=2\ne\left(\frac54\right)^3,\\ r=0,1,2,3;\qquad\text{정확한 조건 수}\le8. \end{gathered}

회로마다 적어도 하나가 실패하므로 최대 8개예요.8개를 맞춘다면 각 회로에서 실패 위치 하나씩을 택해요. 네 회로의 선택은3⁴=81가지예요. 그러나 위치만 고른 뒤 음의 순서가 뒤집히면 답이 아니에요.

임의의 선택에서 실패할 비만32/25, 나머지는5/4로 정해요. 회로의 곱은(5/4)²(32/25)=2입니다. q₍ᵣ,ₖ₎는 r번 회로의 k번째 비이고, 빈 곱을1로 두면 음을 다음처럼 만들어요.

\begin{gathered} t=\frac{26}{25},\quad q_{r,k}\in\left\{\frac54,\frac{32}{25}\right\},\\ f_{r+4j}=t^r\prod_{k=0}^{j-1}q_{r,k} \quad(r=0,1,2,3;\ j=0,1,2),\\ \frac{f_{r+1+4j}}{f_{r+4j}}\ge\frac{65}{64}>1 \quad(r=0,1,2). \end{gathered}

j=1의 누적곱은5/4 또는32/25, j=2는25/16 또는8/5입니다. 각 층의 최대/최소 비가128/125 이하라 위 이웃비가 보장돼요. 또 t³<6/5이므로 첫 층 끝은5/4보다 낮아요. 둘째 층 끝도(6/5)(32/25)<25/16, 마지막은(6/5)(8/5)<2입니다. 층 사이 순서까지 맞아요.

따라서 최대는8개, 실패 위치는81가지 모두 가능해요. 같은 실패 위치의 주파수 배열이 유일하다는 뜻은 아니에요. 실패 위치만 세는 계산과 실제로 순서 있는 음을 만드는 증명을 나누어 살펴봐요.

착안: NRICH, Tuning and Ratio의 순정 음정 설명. 제공 교재의 곱의 법칙은 경우를 세는 기초이며, 조건·배열·증명은 자체 구성했어요.

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