하모노그래프는 두 방향의 진동을 겹쳐 선을 그리는 기구다. 교사는 진동수 비가 1:2인 두 진동의 출발만 바꾸어, 한 교차점에서 직각으로 만나는 선을 만들고 싶어요. 감쇠 없는 자체 종이 모형을 다음처럼 정해요.
좌표는 단위 없는 수이고, t와 φ는 라디안이에요. φ는 고정된 출발 위상이에요. 교차는 서로 다른 두 t가 같은 점에 도달하고, 그곳의 영 아닌 두 미분벡터가 평행하지 않은 경우로 정해요. 교차가 정확히 하나이고 그 두 접선이 수직인 φ를 전부 구해 볼까요?
같은 x를 주는 서로 다른 입력은 s≡π−t(2π를 법으로)입니다. 두 y의 차는 2cosφ sin2t입니다. cosφ≠0이면 sin2t=0이어야 해요. π/2와 3π/2는 각각 자기 자신과 짝이므로 제외하면, 다른 입력 쌍은 {0,π} 하나뿐이에요.
v₀와 vπ는 합성함수의 미분법으로 구한 두 방문의 미분벡터다. 내적 (a,b)·(c,d)=ac+bd가 0이면 두 비영벡터는 수직이에요. 따라서 cos²φ=1/4이며 답은 π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3입니다. 네 경우는 모두 cosφ≠0이므로 실제 교차를 가져요.
cosφ=0이면 y=±(1−2x²)인 포물선 조각을 되짚어 교차 조건에 들지 않아요. φ=0은 교차하지만 내적이 3이라 직각이 아니에요. 그림 한 장의 인상 대신 모든 같은 점 방문과 두 방향을 확인해요. 실제 기구의 감쇠·작동 성능을 검증한 결과는 아니에요.
착안: St Andrews, Harmonograph. 식과 증명은 자체 모형이에요.