박물관의 자이로스코프에서 착안해 화살표의 방향을 좌표로 비교해 봐요. 같은 두 회전도 순서를 바꾸면 결과가 다를까요? 다르다면 차이는 얼마나 커질까요? 실제 장치의 운동이나 성능을 구하는 문제는 아니에요.
시작 방향 v=(x,y,z)는 길이 1인 무차원 벡터예요. 회전축은 공간에 고정한 x·z축이에요. 물체와 함께 움직이는 축으로 바꾸지 않아요. 두 회전 X·Z는 각각 90°이고, 방향은 아래 식으로 정해요. A는 X 다음 Z, B는 Z 다음 X의 결과예요.
차이 Δ는 두 끝점 사이 거리예요. 그 제곱은 (y+z)²+(x+z)²+(y−x)²입니다. 전개한 뒤 x²+y²+z²=1을 쓰면 아래 식을 얻어요. e는 길이 1이고 c는 내적이에요.
v=ce+w로 나누면 w는 e에 수직이에요. 길이 제곱을 더해 1=c²+|w|²이므로 |c|≤1입니다. 두 결과가 같은 방향은 c=±1, 즉 v=±e 두 개뿐이에요. 차이의 최댓값 √3은 c=0인 모든 방향에서 얻어요. 단위구와 평면 x+y−z=0이 만나는 큰 원 전체예요.
원하는 차이 δ도 전부 만들 수 있어요. 식의 c를 고르고, e에 수직인 임의의 단위벡터 u로 v=ce+√(1−c²)u를 만들면 돼요. 반대로 모든 답은 이 꼴이에요. 0<δ<√3에서는 단위구를 자르는 두 원, δ=0에서는 두 점, δ=√3에서는 원 하나가 답이에요. 한 화살표의 예만 비교하지 말고 가능한 시작 방향 전체를 표시해 볼까요?
착안: SMG, gyroscopes. 조건·계산은 자체 모형이에요.