두 구멍판을 겹쳐 한 칸씩 돌릴 때, 매번 구멍 두 개만 맞게 만들 수 있을까요? Smithsonian은 사이렌의 두 판에서 구멍이 잠깐 정렬되는 구조를 설명해요. 여기서는 소리 대신 겹친 자리만 세는 종이 모형을 만들어요.
같은 원 위의 여덟 등간격 칸에 시계방향으로 0부터7까지 번호를 붙여요. 고정판 A에는0,1,4,5번만 구멍이 있어요. 돌릴 판 B의 구멍 위치를 자유롭게 골라요. b_i는 B의 i번에 구멍이 있으면1, 없으면0입니다. 크기·공기·연속 회전 사이의 상태는 계산하지 않아요. 판을 j칸 반시계방향으로 옮긴 여덟 정렬 상태만 검사하며, 첨자는8로 나눈 나머지로 읽어요. C_j는 맞은 구멍 수예요.
s_i는 마주보는 두 칸의 구멍 수이므로0,1,2 중 하나예요. s의 첨자는4로 돌아가요. 모든 j에서 C_j=2를 요구하면 이웃한 s의 합이2여야 해요. 연속된 두 식을 빼면 s₀=s₂, s₁=s₃입니다. 따라서 아래 세 경우가 빠짐없이 나와요.
a=1이면 마주보는 네 쌍마다 정확히 하나씩 뚫어16가지예요. a=0과2는 각각 홀수 칸 전부와 짝수 칸 전부인 두 판이에요. 각 판을 여덟 상태에 대입하면 충분성도 확인돼요. 전체 맞음 수16에서 B의 각 구멍이 네 번씩 세어지므로 구멍 수는 반드시4입니다.
번호를 구별하면 답은18가지예요. A와 같은 네 구멍을 뚫으면 처음4개, 두 칸 옮기면0개가 맞아 실패해요. 구멍 수만 맞춘 답과 모든 회전에서 맞는 답을 대조해 봐요. 실제 음높이·제작 성능을 판정한 결과는 아니에요.
착안: Smithsonian 사이렌. 계산과 구멍 배치는 자체 모형이에요.