같은 점에 닿는 빛, 거울의 어디서 튕겼을까요?

컵 안쪽의 밝은 곡선에서 착안해, 거울의 어느 점에서 튕긴 빛이 표시점에 오는지 찾아볼까요? SIAM은 원형 거울에 평행광선을 넣는 상황을 설명해요. 여기서는 실제 밝기 대신 반사점의 개수만 세어요.

좌표 단위는 cm입니다. 반지름1인 원의 오른쪽 반원에서 모든 점 R을 허용해요. 각 R로 오른쪽 진행 방향 d의 광선을 보내 접선에 대칭시켜요. 반사 뒤 방향이 v입니다. 첫 반사 이후 원에 다시 닿기 전만 관찰하며 입사광·회절·다음 반사는 제외해요. 표시점 P의 높이 y는 아래 열린 범위 전체예요.

\begin{gathered} a=1/\sqrt2,\quad P=(a,y),\quad |y|<a,\\ R=(c,s),\quad c>0,\quad c^2+s^2=1,\\ d=(1,0),\quad v=d-2(d\cdot R)R\\ =(1-2c^2,-2cs). \end{gathered}

서로 다른 반사점을 세어요. 같은 직선 위의 광선도 반사점이 다르면 따로 세어요. 어떤 높이는 세 점, 어떤 높이는 두 점인지, 모든 반사점을 직접 구성해 보세요.

c=a인 두 점에서는 v가 각각 수직 아래·위예요. 따라서 두 광선은 표시선 위를 지나 모든 P에 도달해요. 나머지는 가로좌표를 맞추면 진행 거리 τ=1/(√2+2c)>0이고, 높이는 y=s/(1+√2c)입니다. s²=1−c²를 넣으면 c의 이차식이 나오고 양의 근은 아래 c_y 하나예요.

\begin{gathered} c_y=\frac{\sqrt{1+y^2}-\sqrt2y^2}{1+2y^2},\\ U_y=(c_y,y(1+\sqrt2c_y)),\\ \mathcal R(y)=\{(a,a),(a,-a),U_y\},\\ |\mathcal R(y)|=\begin{cases} 2&y=\pm a/2,\\3&\text{otherwise}. \end{cases} \end{gathered}

U_y는 원 위에 있고 원래 반사식도 만족해요. P가 원 안이고 τ가 양수여서 재충돌 전 실제 선분이에요. 두 예외 높이에서는 U_y가 이미 센 수직 반사점과 겹쳐 두 점만 남아요. 다른 높이는 겹치지 않아 세 점이에요.

y=0이면 추가 점은(1,0), y=a/2이면(a,a)입니다. 좌표를 대입해 확인해 볼까요? 가로식의 공통 인수를 지우기 전에 c=a인 경우를 따로 남겨야 해요. 실제 컵의 밝기나 광학 성능을 측정한 결론은 아니에요.

착안: SIAM, 원형 거울.

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