에너지 감소와 엔트로피 증가가 각각 양수면 함께 가능한 기록일까요? 워싱턴 대학의 에너지·엔트로피 설명에서 착안해 두 물체의 끝 상태 기록을 검사해 봐요.
각 열용량은 일정한1J/K, 처음 온도는100K와400K인 가상 물체다. 부피·상태 변화와 외부 열교환은 제외해요. 끝 온도를100xK,100yK로 쓰고 낮은 쪽부터 표시해요. 에너지 감소를100J로 나눈 w, 두 물체의 엔트로피 증가를1J/K로 나눈 d는 무차원이에요. ln은 자연로그, e는 자연상수예요. 다음 조건을 이 계산의 허용 정의로 삼아요.
모든 허용 기록(w,d)의 범위와 각 기록의 끝 온도를 구해 볼까요? 두 온도의 합은 s, 곱은 p입니다. 따라서( y−x )²=s²−4p≥0이며 d≥0에서 p≥4입니다. s는4 이상5 이하라 w는0부터1, p는4부터s²/4까지예요.
역으로 이 범위의 기록마다 두 근을 쓰면 돼요. s가4~5이고 p≥4여서 작은 근은1 이상, 큰 근은4 이하예요. 두 근의 순서를 정했으므로 복원은 유일해요. 위쪽 경계에서는 두 온도가 같고 w=1이면 x=y=2뿐이에요.
w=1/2,d=ln(9/8)은 x=3/2,y=3이어서150K와300K로 복원돼요. 같은 w에 d=ln(25/16)을 적으면 판별식이−19/4라 불가능해요. 두 기록 모두 양수라는 검사만으로는 이 오답을 걸러내지 못해요. 실제 열기관으로 모든 상태를 구현했다는 결론은 아니에요.