물 위의 블록, 기울이면 에너지가 더 낮아질까요?

반잠긴 블록은 긴 변이 수평인 자세에서 에너지가 가장 낮을까요? UT의 에너지 설명에서 기울기를 비교해 봐요.

물체는 균일하고 밀도는 물의 절반이에요. 단면은 Q=[−a,a]×[−1,1], 좌표는cm 길이의 수치예요. 같은 단면의 기둥이며 길이축 주위로만 기울인다. 물은 넓고 수면은 수평이며 표면장력·공기 부력은 제외해요. 좌우 반사와 반바퀴는 같은 자세로 묶고, θ는 긴 변의 수평 기준 라디안 각이에요.

중심대칭 때문에 매번 수면이 중심을 지나 단면의 절반이 잠긴다. 부심은 잠긴 부분의 중심이에요. 에너지를 무게×1cm로 나눈 U는 부심의 깊이 수치예요. 다음 조건을 이 종이 모형의 정의로 삼아요.

\begin{gathered} 1\le a\le2,\quad0\le\theta\le\pi/2,\\ A=a\sin\theta,\quad B=\cos\theta,\\ M=\max(A,B),\quad m=\min(A,B),\\ U=\frac M2+\frac{m^2}{6M}. \end{gathered}

수면 기준 높이는 z=xsinθ+ycosθ입니다. 잠긴 쪽 평균 깊이는 전체 Q의 |z| 평균과 같아요. A≤B일 때 y를 먼저 적분하면 B/2+A²/(6B), 반대이면 두 양을 바꾸므로 M 식을 얻어요.

모든 a에서 U를 최소로 만드는 기울기를 구해 볼까요? A≤B에서는 c=cosθ를 써 U=[(3−a²)c+a²/c]/6을 미분해요. A≥B인 나머지 구간은 U가 증가해 다른 최소가 없어요. arccos는0부터π/2까지의 역코사인이에요.

\begin{gathered} \theta_*= \begin{cases} \arccos\!\dfrac a{\sqrt{3-a^2}}&1\le a<\sqrt{3/2},\\ 0&\sqrt{3/2}\le a\le2, \end{cases}\\ a^2=3/2,\ A\le B:\quad U-\frac12=\frac{(1-c)^2}{4c}. \end{gathered}

각 a의 답은 θ* 하나예요. a=1인 정사각형은π/4로 기울고, a≥√(3/2)에서 수평이 돼요. 경계에서는 작은 각의 θ²계수(2a²−3)/12가0입니다. 그래도 위 제곱은 양의 기울기에서 양수이고 이후 구간도 증가해 수평만 최소예요. 2차계수0을 ‘모든 자세가 같음’으로 읽지 않아요. 실제 블록의 움직임이나 안전을 검증한 결과는 아니에요.

착안: UT, 부심, 에너지.

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