가상 계산 장치는 입력과 모든 계산 결과를 3으로 나눈 나머지로 나타내요. 입력은 0, 1, 2뿐이에요. 두 식 f(x)=x³−x, g(x)=0을 입력해 같은 출력표가 나오는지 확인해 봐요. 수에는 길이·시간 단위가 없어요.
f의 보통 정수 계산값은 입력 0, 1, 2에서 차례로 0, 0, 6입니다. 3으로 나눈 나머지는 모두 0이고, g도 모두 0입니다. 따라서 이 세 입력으로 정의한 함수로서는 f와 g가 같아요.
이제 식의 각 항 xⁿ을 nxⁿ⁻¹로 바꾸고 상수항을 0으로 바꾸는 ‘형식 미분’을 사용해요. 이것은 입력을 조금 움직여 속도를 재는 정의가 아니라 계수와 지수에 적용하는 기호 규칙이에요. 바뀐 계수도 3으로 나눈 나머지로 계산해요.
어떤 입력을 넣어도 첫 미분식은 2, 둘째는 0을 내요. 처음의 출력표는 완전히 같았지만 미분 후 출력표는 달라요. 다항식의 계수 정보가 원래 출력표에 모두 남아 있지 않았기 때문이에요.
그래서 이 계산에서 형식 미분 결과를 정하려면 출력표만이 아닌 어떤 다항식을 사용했는지 알아야 해요. 실수 전체에서 같은 다항식 함수의 미분도 같다는 익숙한 사실을, 입력이 세 나머지뿐인 상황에 그대로 옮길 수는 없어요.
참고한 수학 개념: AMS · Perspectives on Polynomials (it’s a witch!).
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.