NASA의 연속 스펙트럼 설명에서 착안해 가상 빛의 에너지 분포를 만들어요. 파장 λ를 1μm로 나눈 무차원 수치를 x>0으로 쓰고, x 한 단위당 에너지 밀도를 g(x)=xe⁻ˣ로 정해요. 실제 흑체 곡선은 아니며 전체 에너지는 상대 단위예요.
g의 미분은 e⁻ˣ(1−x)이므로 파장 기준 봉우리는 x=1입니다. 진공에서 주파수 ν=c/λ입니다. 주파수를 c/(1μm)로 나눈 수치 y는 1/x가 돼요. 봉우리를 단순히 y=1로 옮겨도 될까요?
같은 에너지를 같은 구간에 남기려면 주파수 밀도 h는 칸 폭의 변환까지 포함해야 해요. x=1/y의 변화율 절댓값은 1/y²입니다.
이를 파장 수치 x로 다시 표현하면 h(1/x)=x²g(x)=x³e⁻ˣ입니다. 미분 부호를 보면 최댓값은 다음 식에서 정해져요.
따라서 주파수 밀도의 봉우리에 해당하는 빛은 x=3, 즉 λ=3μm이고 y=1/3입니다. 파장 밀도의 봉우리 λ=1μm와 달라요. 에너지가 바뀐 것이 아니라 ‘한 칸당’이라는 분모가 달라졌습니다. 봉우리를 읽을 때 가로축 변수와 세로축이 어느 폭당 에너지를 뜻하는지 함께 확인해야 해요.
참고한 수학 개념: NASA · Spectroscopy 101 – Types of Spectra and Spectroscopy.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.