가상 기록표에 수열 a₀=0, a₁=1을 적고, 이후에는 바로 앞 두 수를 더해요. 0, 1, 1, 2, 3, 5,…가 생겨요. 수에는 단위가 없어요. 각 수를 z의 거듭제곱 앞 계수로 놓은 F(z)를 생각해 봐요.
둘째 식은 각 차수의 계수를 비교한 기록이에요. 예를 들어 z³ 앞의 2는 zF에서 1, z²F에서 1을 받아 만들어집니다. 각 계수를 확인할 때 더하는 항은 유한하므로, 아직 어떤 수를 z에 대입할 필요가 없어요. 상수항이 1인 분모로 형식적으로 나누면 다음 표현을 얻어요.
이제 계산기에 오른쪽 식만 넣고 z=1을 대입하면 −1입니다. 이것이 1+1+2+3+5+…의 합일까요? 아니에요. n≥1인 모든 aₙ은 1 이상이므로 처음 N항의 실제 합은 N 이상이에요. N을 키우면 부분합이 끝없이 커져 유한한 합이 없어요.
형식적 표현은 계수의 규칙을 간결하게 담습니다. 수치 대입은 별도의 문제예요. 무한급수의 실제 합으로 읽으려면 그 대입값에서 수렴하는지 먼저 확인해야 해요. 여기서 −1은 유리식(다항식을 다항식으로 나눈 식)의 값이며, 발산하는 양수 급수의 합이 아니에요.
참고한 수학 개념: AMS · A Golden Formal Power Series.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.