가열된 액체에 무늬가 생기는 전시에서 착안한 가상 모형이에요. 무늬의 진폭 x와 시간, 조절값 μ는 모두 단위 없는 수로 정해요. x의 부호는 두 무늬 방향을 나타내며 온도 자체가 아니에요. 실제 수조의 열전달식 대신 다음 변화식을 사용해요.
평형은 변화율 x′가 0인 자리예요. μ=−1이면 실수 평형은 x=0 하나뿐이에요. x가 조금 양수이면 x′<0, 음수이면 x′>0이라 0으로 돌아가는 방향이에요. 이 자리 주변의 작은 흔들림은 줄어들어요.
μ=1이면 평형은 x=0,1,−1 세 개예요. 0 근처의 작은 양수 x에는 x′>0, 작은 음수에는 x′<0이어서 0에서 멀어집니다. 0도 평형이지만 불안정해요. 반면 1 바로 아래에서는 x′>0, 바로 위에서는 x′<0이라 1로 돌아가요. −1도 같은 방식으로 안정됩니다.
μ=0에서는 x′=−x³입니다. 선형 항이 사라져도 양수에서는 감소하고 음수에서는 증가하므로 0을 향해요. 미분한 기울기가 0이라는 이유만으로 안정성 판단을 끝낼 수 없어요.
조절을 늘려 μ가 양수가 되면 고른 상태 x=0이 불안정해지고, 두 안정된 무늬 방향이 새로 생겨요. 열을 가하면 늘 무질서해진다고 단정할 수 없다는 전시의 질문을, 가상 평형과 변화율의 부호로 살펴본 계산이에요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Convection Cells.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.