가상 평면 모형의 관절 A·B·C·D·E·F는 자유롭게 회전하는 접합부이고, 막대 길이는 변하지 않아요. 막대가 교차해도 교차점에 새 관절은 없고, 서로의 회전을 방해하지 않아요. 전체의 이동·회전은 제외하고 형태가 바뀌는지 물어요.
일반적인 평면 배치에서 최소한의 막대로 형태를 고정하려 할 때 등장하는 개수는 2n−3입니다. 관절 여섯 개면 아홉 막대예요. A·B·C·D는 모든 쌍을 연결해 여섯 막대를 쓰고, E는 A·B에 연결해 둘을 더하며, F는 E에만 연결해 하나를 더해요. 총 아홉이에요.
두 번째 계산은 문제가 어디 있는지 보여 줘요. 네 관절 묶음에 최소 강성에 필요한 다섯 개보다 많은 여섯 막대가 몰려 있어요. 전체 개수는 맞지만, 필요한 위치마다 제약을 배분한 것은 아니에요.
A·B·C·D·E를 움직이지 않고 F만 움직여 볼까요? EF의 길이를 1cm, 고정된 E의 좌표를 (u,v)cm라 하면 다음 위치는 어느 실수 t에서도 EF의 길이를 유지해요. t의 단위는 라디안이에요.
F에 연결된 다른 막대가 없어 실제로 원을 따라 움직일 수 있어요. 따라서 아홉 막대라는 총수만으로 고정 여부를 결론 낼 수 없어요. 최소 강성을 따질 때는 전체 개수뿐 아니라 각 부분에 막대가 어떻게 배치됐는지도 확인해야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · Grasping the Math That’s Over Your Head.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.