좌표축의 단위 길이가 같고 수직인 좌표평면이에요. 세 꼭짓점의 두 좌표가 모두 정수인, 변의 길이가 양수인 정삼각형이 존재하나요?
한 변의 길이 제곱을 N이라 해 볼까요? 정수 좌표 차의 제곱합이라 N은 양의 정수예요. 정삼각형의 넓이는
한편 정수 좌표 세 점이 만드는 삼각형 넓이는 정수 D에 대해 |D|/2로 쓸 수 있어요. 두 값이 같으려면 √3N=2|D|여야 하지만 왼쪽은 무리수, 오른쪽은 정수예요. 불가능해요.
그림이 비슷하다는 것과 정확한 조건
칸이 작은 그림에서 꼭짓점을 옮겨 정삼각형처럼 보이게 할 수는 있어요. 그러나 모든 좌표가 정확히 정수이고 세 변이 정확히 같다는 조건을 동시에 만족할 수는 없어요. 변의 길이가 무리수여도 괜찮다고 허용하는 것만으로 이 문제는 해결되지 않아요.
넓이 |D|/2는 한 점을 원점으로 옮긴 뒤 두 변의 성분을(p,q),(r,s)로 적어 |ps−qr|/2로 얻어요. 이동한 좌표도 모두 정수이므로 분자가 정수라는 성질이 유지돼요.
예를 들어(0,0),(2,0)을 한 변으로 택하면 세 번째 점은(1,√3) 또는(1,−√3)입니다. 이 특별한 가로 예뿐 아니라 어느 방향의 변에서도 앞 넓이 증명이 적용돼요.
학생이 가로로 놓은 한 예만 보고 어느 정수 좌표 점으로도 불가능하다고 판단했는지 확인해요. 일반 증명은 변의 방향을 고정하지 않고 두 가지 넓이 계산의 수 종류를 비교해야 해요. 정수 좌표 점으로 정확히 만들 수 없다는 결론과 일반 좌표평면에서 정삼각형이 없다는 결론도 구별해요.
출처·착안: Anne Watson, 「Lines and Angles on Square Grids」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.