모집단 X는0과2를 각1/2의 확률로 갖는다. 모평균은1, 모표준편차는1이다. 독립 표본4개의 평균을 M이라 한다. 다음 구간을 무조건95% 신뢰구간이라고 부른다.
이 구간이 모평균1을 포함할 실제 확률을 계산하라.
네 선택에서2가 나온 수를 K라 하면 M=K/2이고 K는 B(4,1/2)를 따른다. |M−1|≤0.98이어야 포함하므로 K=1,2,3일 때만 성공한다.
0.95와 다르다.
공식의 전제를 확인한다
모표준편차를 아는 조건은 맞다. 그러나 모집단이 정규분포가 아니고 표본크기도4로 작다. 표본평균을 정규분포로 읽는 전제를 확인하지 않은 채1.96을 붙였다.
K=0이면 M=0이고 구간은[−0.98,0.98]이라1을 놓친다. K=4이면[1.02,2.98]이라 역시 놓친다. 두 실패 결과의 확률은각1/16로 직접 확인할 수 있다.
교사는 표본평균의 분산1/4까지 맞게 구한 풀이를 유지한다. 평균과 분산 공식이 맞다는 사실과 표본평균 분포가 정확히 정규라는 사실은 다르다. 이번 구간의 포함 사건을 다섯 가능한 평균값에 직접 대입하면 가정의 차이가 실제 숫자로 나타난다.
이 문항은 모든 비정규 모집단에서 큰 표본의 근사를 부정하는 것이 아니다. 주어진 작은 표본에서 정확한95%라는 주장을 검토한다. 공식을 쓰기 전에 모집단 분포와 표본크기 조건을 적는 수업 질문이다.
전체 순서 있는 선택16개는 같은 정도로 일어난다.
출처·착안: Dr Nic, 「Teaching Confidence Intervals」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.