확률밀도 그래프의 높이가 4이면 확률이 1보다 커진 걸까

연속확률변수 X의 확률밀도함수를 다음과 같이 정한다.

f(x)=4\quad(0\le x\le1/4),\qquad f(x)=0\quad\text{그 밖}.

높이4가1보다 커서 이 함수는 불가능하다는 답을 검토하라.

확률은 높이 자체가 아니라 구간 아래 넓이다. 전체 넓이는4×1/4=1이고 높이도0이상이므로 올바른 확률밀도함수다.

사건	그래프 아래 넓이
0≤X≤1/8	4×1/8=1/2
0≤X≤1/4	4×1/4=1

각 확률은0과1사이다. 밀도의 높이와 확률이 같은 수일 필요는 없다.

이산확률변수에서 한 값에 해당하는 확률은1을 넘을 수 없다. 그 조건을 연속확률변수의 밀도 높이로 그대로 옮기면 좁은 구간에 모인 분포를 배제하게 된다.

반대로 높이가1/2로 낮아도0부터3까지 일정하면 전체 넓이가3/2라 밀도로 사용할 수 없다. 높이가 낮은가 높은가 한 조건만으로 적절성을 판단하지 않는다.0이상인지와 전체 넓이가1인지를 함께 검사한다.

0≤X≤1/8의 끝점 값을 포함하는지는 이 확률에서 차이를 만들지 않는다. 연속분포에서 한 점의 확률은0이고 구간 넓이로 계산한다. 그러나 밀도의 값을0.5로 읽어 각 점에 확률0.5씩 주는 식은 맞지 않는다.

교사는 그림의 세로축 이름을 확률밀도로 명시한다. 막대의 높이를 그대로 사건의 확률로 읽은 답안에는 가로 구간 길이도 함께 표시하게 한다. 이 검사는 소수인지 정수인지보다 확률을 어떤 양으로 계산했는지 확인한다.