평균 0과 표준편차 1을 만들면 표준정규분포일까

X는0과2를 각각 확률1/2로 갖는다. 평균은1, 표준편차는1이다. 다음 변환 뒤 Z가 표준정규분포를 따른다는 주장을 검토하라.

Z는−1과1을 각각 확률1/2로 갖는다. 평균0, 분산1, 표준편차1이라는 계산은 맞다. 그러나 두 값만 갖는 이산확률변수이므로 표준정규분포는 아니다.

교재에서 정규분포를 표준정규분포로 바꾸는 설명에는 원래 X가 정규분포를 따른다는 전제가 있다. 평균과 표준편차를 맞추는 계산만으로 그 전제를 새로 얻을 수 없다. 변환 뒤 가능한 값은 원래 가능한 값들을 각각 옮긴 결과다.

예를 들어 P(Z=1)은1/2다. 표준정규분포의 한 점에 해당하는 확률은0이므로 두 모형은 이 한 질문에서도 다른 답을 준다. 평균과 표준편차가 같아도 분포가 같은지는 별도 판단이다.

교사는 평균0과 표준편차1을 구한 학생의 계산을 남긴다. 수정할 문장은 “따라서 표준정규분포”라는 결론이다. 어떤 모양의 분포를 전제로 공식이나 표를 사용할 수 있는지 확인하게 한다.

원래 X가 정규분포인 문항과 위의 두 값 문항을 나란히 제시한다. 같은 형태의 변환식을 썼다는 사실보다 원래 확률분포의 조건이 결론을 결정한다는 점을 답안 첫 줄에 적게 한다.

정규분포표를 읽기 전에 문제에서 주어진 확률변수의 가능한 값과 확률을 먼저 적게 한다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Notes for Introducing Z-Scores」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.