두 번 한 모둠과 열여덟 번 한 모둠, 비율을 그냥 평균낼까?

같은 실험을 한 두 모둠의 기록이다. 전체 20회에서 A가 나온 상대도수를 구하라. 두 모둠의 상대도수를 더해 2로 나눈 답과 같은가?

가 모둠의 2회와 나 모둠의18회에 같은 비중을 준 평균은 전체 시행의 비율이 아니다. 전체 시행 하나를 같은 무게로 세려면 모둠별 시행 수를 반영해야 한다.

교사는 두 모둠의 비율만 적지 않고 시행 수와 횟수를 함께 남긴다. “두 모둠 중 하나를 같은 확률로 고른 뒤 그 모둠에서 한 시행을 고른다”면 다른 질문이 되어 $13/18$이 맞는다. 어떤 것을 무작위로 고르는지도 분모에 영향을 준다.

학생에게 먼저 스무 칸을 그리게 하고, 각 모둠의 시행 수만큼 칸을 나누게 한다. 모둠 둘의 결과를 두 칸으로만 요약한 그림과 비교하면 어떤 정보가 사라졌는지 볼 수 있다.

전체 상대도수가 $1/2$라고 해서 A의 수학적 확률이 반드시 $1/2$인 것은 아니다. 이 문항은 관찰한20회의 비율을 구했으며, 실험을 발생시키는 규칙은 주어지지 않았다. 관찰값과 이론값의 구별도 답 뒤에 한 문장으로 남긴다.

후속 문항은 두 모둠의 시행 수를 모두10으로 만들 때 두 집계 방식이 같아지는 이유를 설명하게 한다. 수치를 바꾸기 전에 두 비중이 같아졌다는 조건을 확인하는 질문이다.

출처·착안: Mark Chubb, 「From Experimental to Theoretical Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.