공제 점수가 매번 같지 않을 때 평균에서 2를 빼도 될까

공정한 주사위를 한 번 던진다.5나6이면10점을 얻고 나머지는0점이다. 짝수가 나오면 얻은 점수에서2점을 공제한다. 최종 점수의 기댓값은10/3−2인가?

답은7/3이다. 음수 점수도 허용하므로2와4에서는−2점이다. 여섯 결과가 같은 확률이어서 합14를6으로 나눈다.

얻는 점수의 기댓값은10×2/6=10/3으로 맞다. 그러나2점을 공제하는 일은 짝수일 때만 일어나며 그 확률은1/2다. 평균 공제 점수는1이므로 최종 기댓값은10/3−1이다.

교사는 “평균에서 상수를 뺀다”는 계산 방법을 모두 지우지 않는다. 매번2점을 공제하는 규칙이었다면10/3−2가 맞다. 이 문항에서는 공제하는 양이 결과에 따라0 또는2로 달라지는 것이 수정할 부분이다.

후속 질문으로 음수 점수는0점으로 처리한다고 바꾸면 최종 점수는0,0,0,0,10,8이고 평균3이다. 공제 규칙 뒤에 붙는 한 문장이 이미 계산한 평균을 다시 바꾼다.

새 문항에는 공제 시점과 음수 허용 여부를 함께 적는다. 결과별 점수표를 먼저 완성한 뒤 평균을 구하게 하면, 공제의 조건을 빠뜨린 오답과 정확한 평균 계산의 오류를 구별하기 쉽다.

획득 점수와 공제 점수는 같은 주사위 결과로 정해지지만, 결과별 최종 점수를 직접 구하면 별도의 독립 가정 없이 평균을 계산할 수 있다.

출처·착안: Allan Rossman, 「What do you expect?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.