두 곡선은 P를 지나고 P에서 접선도 y=1로 같다. 이 정보만으로 같은 곡선이라고 할 수 있을까?
원 C의 x축 교점은 (±1,0), 타원 E의 x축 교점은 (±2,0)이다. 따라서 서로 다르다. 같은 점에서 같은 접선을 가진다는 사실은 곡선 전체를 하나로 결정하지 않는다.
더 나아가 a>0인 x²/a²+y²=1은 모두 P에서 y=1에 접한다. a를 바꾸면 x축 교점 (±a,0)이 달라진다.
접점 좌표와 접선 방정식을 정확히 구한 답에서도, 이를 도형 전체가 같다는 결론으로 옮겼는지 따로 확인한다. P 근처만 확대해서 그린 그림 대신 x축 교점 한 쌍을 함께 표시하면 같은 접선과 다른 곡선을 짧게 비교할 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.