두 교점을 잇는 선분 PQ가 초점 F를 지난다. PQ의 길이의 최솟값을 구하라.
P,Q를 지나는 직선은 x−(t+u)y/2+tu=0이다. 여기에 F를 넣으면 tu=−1이다. 따라서 t,u는0이 아니며 서로 반대 부호다. F는 두 점 사이에 있다.
포물선의 정의로 PF=t²+1, QF=u²+1이다. 준선 x=−1까지의 거리는 각 점의 x좌표에1을 더한 값이다. 그러므로
(t+u)²≥0과 tu=−1을 사용하면 t²+u²≥2다. 등호는 t+u=0일 때이고 두 조건을 함께 풀면 t,u가1,−1이다. P=(1,2),Q=(1,−2)에서 길이4가 실제로 얻어진다.
교사는 초점이 직선 위에 있다는 확인 뒤 선분 안에도 있는지 살핀다. 거리의 합 PF+FQ를 PQ로 쓰려면 순서 조건이 필요하다. 여기서는 y좌표가 반대 부호이고 F의 y좌표가0이어서 선분 안이라는 판단이 가능하다.
초점을 지나는 모든 직선의 두 교점이 중심 대칭이라고 말하지 않는다. tu=−1은 t=−u를 뜻하지 않는다. 예를 들어 t=2,u=−1/2도 허용되지만 길이는25/4다. 중점이 F인 경우는 최솟값을 이루는 이 예에서 별도로 얻었다.
두 매개변수는 서로 달라야 두 교점이 있다. 같은 점을 두 번 골라 선분 길이를0으로 정한 답은 문제의 전제를 지우고 계산한 것이다.
최솟값4는 초점에서 준선까지의 거리2의 두 배다. 그러나 먼저 그림에서 답을 추측했더라도 모든 다른 선분이 더 짧을 수 없는 이유를 식으로 설명해야 한다. 등호가 가능한 두 점을 실제 포물선에 넣어 확인한 뒤 답을 확정한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.