직선이 원과 만나는 두 교점에 대응하는 t의 값 t₁,t₂의 곱을 구하라. 이를 두 교점까지 거리의 곱이라고 읽은 답도 검토한다.
원 위 조건에 대입하면
두 근의 곱은−3이다. 판별식은4(OP·v)²+12>0이므로 모든 단위 방향에서 두 서로 다른 교점이 있다. P가 원 안이어서 두 교점의 t의 값의 부호는 반대다.
거리에는 절댓값을 쓴다
|v|=1이므로 P에서 Q(t)까지 거리는|t|다. 따라서 두 거리의 곱은|t₁t₂|=3이다. 음수−3은 방향을 포함한 교점에 대응하는 t의 값의 곱이지 거리의 곱이 아니다.
x축 방향 v=(1,0)을 택하면 t=−3,1이고 교점은(−2,0),(2,0)이다. P에서의 두 거리는3과1로 곱3이다. y축 방향에서는 t=±√3이라 두 거리√3의 곱도3이다.
방향을 바꾸어도 곱−3이 유지되는 이유는 이차식의 상수항이 OP²−R²=−3으로 같기 때문이다. 원 안에서 한 교점은 선택한 방향의 앞, 다른 교점은 뒤에 있다. 방향을 뒤집으면 두 부호가 함께 바뀌어도 거리 곱은 그대로다.
해설에서는 교점에 대응하는 t의 값·교점 좌표·거리를 세 칸에 나누어 적는다. t가 음수라는 이유로 교점을 제외할 필요는 없다. t의 범위는 모든 실수이며, 거리를 구할 때만 절댓값을 붙인다. 단위 방향 조건이 없으면 거리|t|가 아니라|t||v|라는 점도 함께 확인한다.
단위 방향 벡터의 크기1은 마지막 거리 계산에 쓰인 전제다. 교점에 대응하는 t의 값의 부호는 방향을 택한 결과이고, 거리는 그 선택과 무관하다는 사실을 두 방향 예로 확인한다.
출처·착안: Anne Watson, 「Lines and Angles on Square Grids」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.