주가의 봉우리와 골짜기, 극대·극소로 읽기

주가 그래프에서 눈에 띄는 봉우리가 그 기간의 가장 높은 가격인 것은 아니에요. 바로 주변보다 높았던 가격과 전체 기간에서 가장 높았던 가격은 서로 다를 수 있어요. 이 차이를 설명하는 수학 개념이 극대·극소와 최댓값·최솟값이에요.

어느 범위와 비교했는지 먼저 살펴봐요

함수의 극댓값은 한 점의 가까운 주변과 비교했을 때 가장 높은 값이고, 극솟값은 가까운 주변에서 가장 낮은 값이에요. 여기서는 구간 내부의 점을 대상으로 주변의 양쪽을 비교해요. 최댓값·최솟값은 정해 둔 전체 구간의 모든 값과 비교해요. 끝점도 전체 비교에 포함되므로, 전체 최댓값이 기간의 마지막에 나올 수도 있어요. 이 구분은 OpenStax의 극값 설명에서 확인할 수 있어요.

실제로 관측한 가격을 볼 때는 비교 규칙을 정해야 해요. 예를 들어 같은 간격으로 관측한 가상 가격이 차례로 20,000원, 23,000원, 21,000원, 24,000원, 22,000원이라고 해 볼게요. 바로 앞뒤 한 개씩과 비교하는 규칙에서는 23,000원과 24,000원이 각각 주변보다 높은 고점이에요. 21,000원은 앞뒤보다 낮은 저점이고요. 관측한 다섯 값 전체의 최댓값은 24,000원, 최솟값은 20,000원이에요.

이 결과는 그 다섯 개의 관측값에 대한 설명이에요. 관측 사이의 모든 가격을 확인한 것은 아니고, 관측 간격이나 비교하는 주변 범위를 바꾸면 고점·저점의 위치가 달라질 수 있어요.

매끄러운 가상 곡선에서는 기울기를 계산해요

미분과 연결하려면 별도의 가정을 세워야 해요. 아래 식은 실제 종목의 주가를 나타내거나 미래 가격을 예측하는 식이 아니라, 극대·극소를 계산하기 위해 만든 매끄러운 가상 가격 모형이에요.

시작 후 흐른 시간을 시간 단위로 나타낸 수를 $t$ 라고 하고, 0시간부터 4시간까지 살펴볼게요. $p(t)$ 는 가격을 천원 단위로 나타낸 수예요. 따라서 $p(t)=20$ 이면 가격은 20,000원이에요.

p(t)=20+2t^3-9t^2+12t,\qquad 0\le t\le4

도함수 $p'(t)$ 는 이 모형에서 가격이 순간적으로 얼마나 빠르게 변하는지 나타내며, 단위는 천원/시간이에요. 각 항을 미분하면 다음 식을 얻어요.

p'(t)=6t^2-18t+12=6(t-1)(t-2)

기울기가 양수인 구간에서는 가격이 증가하고, 음수인 구간에서는 감소해요. 양수에서 음수로 바뀌는 내부 지점은 극대, 음수에서 양수로 바뀌는 내부 지점은 극소가 돼요. 이는 OpenStax의 도함수 부호를 이용한 판정과 연결되는 내용이에요.

시간 구간	도함수의 부호	가격의 변화
$0<t<1$	두 인수가 모두 음수이므로 양수	증가해요
$1<t<2$	한 인수만 음수이므로 음수	감소해요
$2<t<4$	두 인수가 모두 양수이므로 양수	증가해요

1시간 지점에서는 증가하다 감소하므로 극대가 나타나요. 2시간 지점에서는 감소하다 증가하므로 극소가 나타나고요. 해당 시간을 원래 가격 식에 넣으면 실제 높이를 계산할 수 있어요.

p(1)=20+2-9+12=25

p(2)=20+16-36+24=24

이 모형의 극댓값은 1시간 지점의 25,000원이고, 극솟값은 2시간 지점의 24,000원이에요. 극솟값이 시작 가격인 20,000원보다 높아도 모순은 없어요. 극소는 전체 기간의 최저 가격이 아니라 가까운 주변과 비교한 결과이기 때문이에요.

전체 기간의 최고·최저 가격은 끝점까지 비교해요

이 함수는 닫힌 구간 $[0,4]$ 에서 연속이고 모든 내부 지점에서 미분 가능해요. 전체 최댓값·최솟값을 구하려면 도함수가 0인 내부 지점 1, 2와 양쪽 끝점 0, 4에서의 값을 비교하면 돼요. 다른 내부 후보는 없어요.

p(0)=20,\qquad p(4)=20+128-144+48=52

후보 값은 20, 25, 24, 52예요. 따라서 전체 최댓값은 4시간 지점의 52,000원, 전체 최솟값은 0시간 지점의 20,000원이에요. 1시간의 봉우리와 2시간의 골짜기는 가까운 주변에서는 극대·극소지만, 이 구간 전체의 최고·최저 가격은 아니에요. 이 결과로 모형의 가격이 구간 전체에서 양수라는 점도 확인할 수 있어요.

기울기 0이 곧 매매 시점을 뜻하지는 않아요

미분 가능한 함수의 내부 지점에 극대·극소가 있다면 그곳의 도함수는 0이에요. 하지만 거꾸로 도함수가 0이라는 이유만으로 극대·극소가 있다고 결론 내릴 수는 없어요. 예를 들어 $g(x)=x^3$ 은 $g'(0)=0$ 이지만 0을 지나서도 계속 증가해요. 0의 왼쪽에서는 함수값이 음수이고 오른쪽에서는 양수이므로, 0은 가까운 주변의 가장 큰 값도 가장 작은 값도 아니에요.

실제 관측 가격은 거래 시점마다 얻는 이산적인 값이에요. 그 점들을 선으로 연결했다고 해서 미분 가능한 가격 함수가 자동으로 생기는 것은 아니에요. 또 지나간 고점을 확인하려면 그 뒤의 가격도 비교해야 해요. 이미 관측한 봉우리·골짜기를 설명하는 일과 앞으로의 움직임을 알아내는 일은 구분해서 생각해야 해요.

주가 그래프의 고점이나 저점을 볼 때 “가까운 주변 중에서인가, 이 기간 전체에서인가?”를 함께 물어보면 극대·극소의 의미가 또렷해져요. 수학은 비교 범위와 가정을 분명하게 해 주지만, 이 계산만으로 미래 가격이나 매수·매도 시점이 정해지는 것은 아니에요.

대표 이미지: AI 생성 · 수학스토리. 화면의 선은 실제 종목의 시세가 아닌 가상 장면이에요.