정수 번호 n이 붙은 같은 크기의 칸들이 양쪽으로 무한히 이어진다. 번호가0 또는 양·음의 완전제곱수이면 검정, 나머지는 흰색이다. 칸 번호를 같은 양의 정수 T만큼 옮겨도 색이 언제나 같아지는 주기가 있는가?
주기 T가 있다고 가정하자. 충분히 큰 자연수 n을 골라 2n+1>T가 되게 한다. n²는 검정 칸이다. 주기라면 n²+T도 검정이어야 한다. 하지만 n²<n²+T<(n+1)²이므로 이 번호는 양의 완전제곱수가 아니다. 따라서 흰색이며 모순이다. 어떤 양의 정수 T도 주기가 될 수 없다.
각 칸의 모양은 모두 같고 검정 칸도 계속 나타난다. 그래도 검정 칸 사이의 간격이 커지므로 전체 무늬가 일정 거리 이동으로 겹치지는 않는다. 여기서 증명한 것은 색칠한 일차원 정수 띠의 성질이다. 원문이 소개한 비주기 단일 타일의 평면 덮기 정리를 이 예로 증명한 것은 아니다.
교사 질문은 ‘일부가 반복해서 보인다는 것과 전체의 주기가 있다는 것은 같은가’다. 주기는 모든 칸에서 같은 이동이 작동해야 하는 전역 조건이다. 작은 그림에서 비슷한 모양 몇 개를 찾는 일과 논리적 조건을 분리할 수 있다.
착안한 공개 원문: Embroidering an aperiodic tiling. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.