어떤 용기의 높이·부피 관계를 h(V)=√(V+1)−1,0≤V≤3이라는 정확한 수학 모형으로 정했다. 단위는h가cm,V가cm³다. 높이h에서의 수평 단면적A(h)를 구하고 위로 갈수록 넓어지는지 판단하라.
h+1=√(V+1)이므로 V=h²+2h다. 높이 범위는0≤h≤1이다. 아주 작은 높이 증가에 대한 부피 변화율은 단면적이므로 A(h)=dV/dh=2h+2cm²다. 바닥에서2, 높이1에서4로 증가한다.
h′(V)=1/(2√(V+1))이 줄어드는 것도 같은 내용을 말한다. 높이를 조금 올리는 데 더 많은 부피가 필요하니 단면적이 커진다. 높이의 부피 미분은 단면적 자체가 아니라 그 역수다.
교사 질문은 ‘어느 변수를 미분했는지 단위로 확인했는가’다. dV/dh는cm², dh/dV는cm⁻²다. 이 식은 실제 꽃병을 측정해 확인한 결과가 아니라 역문제를 위한 가정이다. 원문의 활동 관점을 빌려 그래프를 도형 정보로 읽는 새 질문을 구성했다.
착안한 공개 원문: Have you ever had hands-on math feel fun, but fade fast?. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.