증가함수와 감소함수의 합도 항상 감소할까

f(x)=x\ (x\in\mathbb R),\qquad g(x)=-x^2\ (x\ge0)

f는 증가함수, g는 감소함수다. f∘g와 f+g도 모두 감소함수일까?

(f\circ g)(x)=-x^2,\qquad (f+g)(x)=x-x^2\quad(x\ge0).

합성은 감소한다. 0≤u<v이면 −u²>−v²이며, g의 함수값은 f의 정의역 안에 있으므로 합성도 정의된다.

합은 실수 x≥0 전체에서 증가함수도 감소함수도 아니다.

x	0	1/2	1
(f+g)(x)	0	1/4	0

앞 두 값에서는 커지고 뒤 두 값에서는 작아진다. 반면 합성에서는 g가 먼저 입력의 순서를 뒤집고 f가 그 순서를 유지한다.

두 연산에 같은 증가·감소 규칙을 붙인 답안이라면, 합성의 식과 합의 식을 각각 적게 한다. 합의 변화에는 두 함수값의 변화량이 함께 작용하므로 증가·감소라는 이름만으로 결과를 정할 수 없다.