정사각행렬에서 AB=E이면 BA도 E인가

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix},\quad AB=E

A,B는 실수 성분의 2×2 정사각행렬이고 E는 같은 크기의 단위행렬이다. 순서를 바꾼 BA도 단위행렬인지 증명한다. 일반적으로 AB와 BA가 다를 수 있다는 사실만으로 답을 정하지 않는다.

AB=E의 네 칸에서 ax+bz=1, ay+bw=0, cx+dz=0, cy+dw=1을 얻는다. δ=ad−bc라고 놓고 두 식씩 곱하여 빼면 다음과 같다.

\delta x=d,\quad\delta y=-b,\quad\delta z=-c,\quad\delta w=a.

만약 δ=0이면 이 네 식에서 a=b=c=d=0이다. 그러면 AB=O이므로 AB=E와 모순된다. 따라서 δ로 나눌 수 있다.

B=\frac1\delta\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},\qquad BA=\frac1\delta\begin{pmatrix}\delta&0\\0&\delta\end{pmatrix}=E.

여기서 순서를 바꾼 이유는 행렬 곱셈의 일반 규칙이 아니다. AB=E라는 네 조건을 사용해 B의 성분을 정한 뒤 실제로 BA를 계산했다. δ≠0을 확인하지 않고 나눈 풀이에는 근거가 빠진다. 학생에게 그 한 줄을 보완하게 하면 공식 암기와 조건을 이용한 증명을 구별할 수 있다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.