가능한 P를 모두 구하라. 이 식이 몇 입력에서 맞는 것과 모든 입력에서 맞는 것을 구별한다.
상수 P는 모두 조건에 맞는다. 차수1인 P=ax+b,a≠0이면 왼쪽은 P(x)²−a²라 맞지 않는다. 차수 n≥2에서는 P=axⁿ+bxⁿ⁻¹+cxⁿ⁻²+⋯,a≠0으로 쓴다.
P(x±1)의 처음 세 계수를 전개하고 곱하면 x²ⁿ⁻²의 계수는 다음과 같다.
같으려면 na²=0인데 n≥2,a≠0과 모순이다. 따라서 모든 해는 상수다. 상수0도 빠지지 않는다.
최고차항과 바로 다음 항은 실제로 양쪽에서 같아져 그것만 비교하면 결론을 얻지 못한다. 그다음 항까지 남겨야 이동으로 생긴 −na²를 볼 수 있다. 전개가 길다는 이유로 처음 두 계수만 확인하고 항등식이라고 처리하지 않는다.
출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising Harder Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.