기울기 제한이 만든 넓이 1/4는 미분가능한 곡선에서 달성되지 않는다

f(0)=f(1)=0,\qquad |f'(x)|\le1\quad(0<x<1).

f는 [0,1]에서 연속이고 내부에서 미분가능하다. ∫₀¹f≤1/4를 증명하고 등호 가능성을 판단하라. 더 작은 공통 경계로 바꿀 수 있는지도 검토한다.

평균값의 정리를 양끝에서 각각 적용하면 f(x)≤x, f(x)≤1−x다. 따라서 f≤min(x,1−x)이고, 오른쪽 삼각형의 넓이는1/4다.

등호면 연속인 두 함수의 차가0 이상이며 적분0이므로 f=min(x,1−x)다. 이 식은1/2에서 미분가능하지 않다. 따라서 원래 함수에서는 적분이 엄격히1/4보다 작다.

f_\varepsilon(x)=\sqrt{1/4+\varepsilon^2}-\sqrt{(x-1/2)^2+\varepsilon^2},\quad\varepsilon>0.

이 함수는 양끝이0이고 |f′ε|<1이다. 삼각형과의 함수값 차이는 ε 이하라 적분은 ε→0에서1/4에 가까워진다. 경계를 더 작게 줄일 수는 없다. “최댓값1/4”라고 쓴 답에서는 부등식, 달성, 얼마든지 가까워짐을 세 문장으로 구별한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Inequalities」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.