둘레가 같은 정수 변 직사각형을 넓이 조건으로 남기면

직사각형의 두 변 길이는 양의 정수이고 둘레는20이다. 넓이가24 이상인 서로 다른 모양은 몇 가지인가? 가로와 세로를 바꾼 모양은 같은 것으로 보고 정사각형도 포함한다.

첫 조건과 a≤b를 함께 쓰면 a는1부터5까지다. 이 다섯 경우를 모두 적는다.

답은 (4,6),(5,5)의2가지다. 가로·세로를 뒤집은 (6,4)를 다시 세지 않으며 정사각형 (5,5)을 빼지 않는다. 도형의 동일 조건과 포함 범위가 표의 행 수를 정한다.

교사는 a를1부터9까지 쓴 학생에게 목록 자체가 틀렸다고 하지 않는다. 순서가 있는 두 변으로 기록했다면9쌍을 만들 수 있다. 다만 이 문항은 가로·세로를 바꾼 모양을 하나로 보기 때문에 마지막에 같은 모양을 합쳐야 한다.

넓이가24보다 크다고 바꾸면 (5,5)만 남는다. 정사각형을 제외한다고 바꾸면 원래 조건에서는 (4,6)만 남는다. 두 변경이 각각 다른 도형을 지운다는 점을 목록에서 확인할 수 있다.

목록이 완전한 이유는 둘레와 양의 정수 조건에 있다. a≤b에서 a≤5가 정해지므로 더 큰 a를 조사할 필요가 없다. 발견한 예의 수와 전체 경우의 수를 구별하는 짧은 설명을 답안에 남긴다.

정사각형이 직사각형에 포함된다는 수업의 도형 분류를 먼저 공유한다. 포함 조건을 글로 정하면 그림이 길쭉한지에 따라 학생이 임의로 판단하는 일을 줄일 수 있다.

출처·착안: Colleen Young, 「Systematic Listing Strategies」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.