xy 한 항의 차이가 실수 일차식의 곱 여부를 바꾼다

이 식을 (x+y)²로 쓴 예시 답안을 검토하라. 더 나아가 계수가 모두 실수인 일차식 두 개의 곱으로 나타낼 수 있는지 판단한다.

(x+y)²=x²+2xy+y²이므로 가운데 항의 계수가 다르다. x=y=1을 대입해도 원래 값은 3, 제시 답은 4다. 두 제곱항만 보고 곱을 정하면 가운데 항을 놓친다.

이 식은 (x,y)=(0,0)일 때만 0이다. 만약 계수가 모두 실수인 일차식 두 개의 곱이었다면, 그중 한 일차식이 0인 직선 위의 모든 점에서 곱이 0이어야 한다. 원점 이외의 점에서도 0이 되므로 모순이다.

따라서 계수가 모두 실수인 일차식의 곱으로 인수분해할 수 없다. y=1을 고정한 이차식 x²+x+1의 판별식이 −3인 방법으로도 확인한다. 두 변수의 범위가 실수라는 조건을 해설에 남긴다.

곱셈으로 검산할 때 제곱항 두 개와 xy항을 세 칸에 적는다. 이차식마다 정수 괄호를 찾을 수 있다는 가정부터 고치게 하는 문항이다.

출처·착안: Factoring Polynomials Using the Box Method Directions. 문항과 풀이는 새로 작성했다.