두 항씩 묶은 부분합이 같아도 원래 급수가 수렴한 것은 아니다

두 항씩 묶으면 모두 0이므로 합도 0이라는 답을 검토하자. $S_n$은 원래 순서의 처음 $n$개 항의 합이다.

짝수 번째 부분합만 보면 0이지만 홀수 번째 부분합은 −1에 남는다. 따라서 전체 부분합은 한 값으로 수렴하지 않고 급수는 $\boxed{\text{발산}}$한다.

유한한 $2n$개 항의 합이 0이라는 계산은 맞다. 그 사실을 급수의 수렴으로 확장한 줄을 고친다. 항 $a_n=(-1)^n$이 0으로 가지 않는다는 필요조건으로도 검산할 수 있다.

번호와 부분합을 두 행으로 적게 하자. 항을 묶는 계산이 원래 모든 번호를 확인했는지 볼 수 있다.

출처·착안: Good Question 14. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.