∑a_n과∑|a_n|의 수렴 여부를 각각 판단한다. 양수와 음수를 지우면0이라는 설명만 쓰지 않고 모든 부분합을 확인한다.
S_(2k)=0이고 S_(2k−1)=1/k다. 두 종류 모두0으로 가므로 원래 급수는0으로 수렴한다. 일부 부분합만 고른 것이 아니라 모든 자연수 번호의 경우를 다뤘다.
절댓값을 붙인2k번째 부분합은2(1+1/2+…+1/k)다. k=2^m으로 놓고1 뒤의 항을2개,4개,8개씩 묶으면 각 묶음은1/2 이상이다. 따라서 이 부분합은2+m 이상으로 커져 발산한다.
원래 급수의 수렴은 서로 지워지는 부호를 포함한 합에 대한 정보다. 각 항의 크기만 더한 합까지 수렴한다는 정보는 아니다.
짝수 부분합0만 보고 수렴을 주장한 답에는 홀수 부분합도 추가한다. 이번에는 홀수 부분합이0으로 가서 실제로 수렴하지만, 항이±1인 예에서는 그 과정이 실패한다. 지워지는 그림과 부분합의 극한을 함께 확인한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Good Question 14」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.