근의 합과 곱이 같은 두 구간 조건은 서로 모순될 수 있다

x²−kx+k=0에서 두 실근을 r,s라 두고 0<r<1, 2<s<3을 요구합니다. 그런 실수 k가 있을까요? 근과 계수의 관계에서 r+s=rs=k이므로 (r−1)(s−1)=1입니다. 그러나 구간 조건에서는 그 곱이 음수라 모순입니다. 판별식이 양수인 후보를 얻어도 근의 위치까지 확보한 것은 아닙니다.

x^2-kx+k=0

이 방정식이 0과 1 사이에 실근 하나, 2와 3 사이에 실근 하나를 갖도록 하는 실수 k가 있는지 판단하라.

두 근을 r,s라 하면 r+s=k, rs=k다. 따라서 rs−r−s=0, 즉 (r−1)(s−1)=1이다. 그러나 0<r<1에서 r−1<0이고 2<s<3에서 s−1>0이므로 곱은 음수다.

\boxed{\text{그런 }k\text{는 없다}}

판별식이 양수라는 조건만 구해 k<0 또는 k>4를 제시해도 주어진 두 구간의 근 조건을 해결한 것은 아니다. 서로 다른 실근이 있는 것과 원하는 위치에 하나씩 있는 것은 다르다.

문항의 답이 빈 집합이어도 계산을 잘못한 것으로 가정하지 않는다. 두 근의 위치 조건이 근의 합·곱 관계와 양립하는지 먼저 검사하면 필요 이상의 매개변수 부등식 계산을 줄일 수 있다.

출처·착안: Factorising Harder Quadratics. 문항과 풀이는 새로 작성했다.