연속함수가 매번 정수값을 갖는다면 서로 다른 값을 줄 수 있을까

f는 실수 전체에서 연속이다. 서로 다른 두 함수값을 갖는 것이 가능한지 판정하라. 입력이 실수이고 출력은 정수라는 두 범위를 따로 읽는다.

서로 다른 함수값 m<n을 얻는 입력 u,v가 있다고 가정한다. m,n은 정수이므로 m+1/2은 그 사이에 있고 정수가 아니다. u,v 사이의 닫힌구간에서 f는 연속이므로 사잇값의 정리에 따라 f(c)=m+1/2인 입력 c가 있어야 한다. 모든 출력이 정수라는 조건에 모순이다.

따라서 f는 정수 하나를 값으로 갖는 상수함수다. 어느 정수인지는 추가 함수값 정보 없이 정할 수 없다.

정의역을 실수 전체에서 x≠0으로 바꾸면, 음수 입력에서0이고 양수 입력에서1인 함수는 그 정의역의 모든 점에서 연속이다. 그러나 상수함수는 아니다. 두 입력 사이의0이 정의역에 없어 사잇값의 정리를 적용한 구간이 통째로 주어지지 않는다.

이 문항은 값의 종류가 제한된 것만으로 푸는 문제가 아니다. 임의의 두 입력을 잇는 구간 전체에서 연속이라는 조건이 중간 출력을 강제한다. 정리의 가정을 적는 답과 정수 두 개 사이의 값을 실제로 선택한 답을 함께 본다.

출처·착안: spectrum, 「集合に関する基礎事項のまとめ（書きかけ）」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.