g는 f의 역함수다. 두 그래프의 대응점 (2,4),(4,2)에서 그은 접선은 y=x에 대칭이므로 서로 수직이라는 답을 검토하라.
f′(2)=4, g′(4)=1/4이다. 두 접선식을 쓰면
각 대응점을 지나지만 기울기 곱은 1이다. 수직인 두 직선의 기울기 곱 −1과 다르므로 수직이 아니다.
일반적으로 (a,b),(b,a)가 대응점이고 두 함수가 그곳에서 미분가능하며 f′(a)=m≠0이면 g′(b)=1/m이다. 따라서 두 접선은 수직일 수 없다. 기울기가 같을 조건은 m²=1이다.
| m | 두 접선의 관계 |
|---|---|
| −1 | 둘 다 y=−x+a+b여서 일치한다. |
| 1, a=b | 둘 다 y=x여서 일치한다. |
| 1, a≠b | y=x+b−a와 y=x+a−b로 서로 다른 평행선이다. |
표의 세 경우는 정의역·공역이 실수 전체인 f=2−x, f=x, f=x+2로 차례대로 확인된다. 그래프의 대칭과 두 직선 사이의 각을 같은 뜻으로 쓰지 않게 한다. 기울기뿐 아니라 접점과 상수항도 비교해야 평행과 일치를 구별할 수 있다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.