2×4 격자판을 1×2 도미노 네 개로 빈틈이나 겹침 없이 덮는다. 도미노는 가로 또는 세로로 놓을 수 있고, 판을 회전하거나 뒤집어 얻은 배치도 칸의 위치가 다르면 서로 다르게 센다. 가능한 배치 수를 두 방법으로 구하라.
가로 도미노 하나가 나오면 위아래 두 줄을 함께 덮는 가로 두 개의 묶음이 생긴다. 한 줄만 가로로 뻗으면 옆의 칸을 완전히 덮을 수 없기 때문이다. 따라서 가로 묶음이 없으면 세로 도미노 네 개인 1가지다. 묶음이 하나라면 연속된 두 열의 시작 위치가 1,2,3열인 3가지다. 묶음이 두 개라면 12열과 34열을 덮는 1가지다. 합은 5가지다.
두 번째 풀이는 맨 왼쪽 열에서 시작한다. 세로 도미노를 놓으면 남은 2×3판을 덮는 경우가 3가지다. 가로 도미노 두 개를 놓으면 남은 2×2판을 덮는 경우가 2가지다. 그래서 3+2=5다. 일반적으로 2×n판의 수를 Tₙ이라 할 때 Tₙ=Tₙ₋₁+Tₙ₋₂라는 관계도 얻는다. 빈 판은 아무것도 놓지 않는 1가지로 보아 T₀=1, T₁=1이다.
교사 질문은 ‘첫 풀이에서 가로 도미노 수 대신 가로 묶음 수를 센 이유가 무엇인가’다. 개별 조각을 무작정 고르면 서로 겹치는 선택까지 세기 쉽다. 완성된 배치를 빠짐없이 한 분류에 넣을 수 있는 단위를 고르는 일이 계산보다 먼저다.
착안한 공개 원문: Deconstructing a Lesson Activity – Part 1. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.