네 실수 점수는 각각0 이상10 이하다. 평균은8이다. 네 점수 중 하나를 같은 확률로 고르는 확률변수 X의 분산이 가장 큰 자료를 만들고 최대 분산을 구하라.
최대는2,10,10,10에서12다.
평균을 유지한 채 두 값 a≤b를 a−δ,b+δ로 바꿀 수 있다면 두 제곱의 합은2δ(b−a)+2δ²만큼 늘어난다. 따라서 둘 다0과10 사이에 있는 두 값이 남아 있을 때는 더 작은 값을 낮추고 더 큰 값을 높여 분산을 더 키울 수 있다.
최대에서는 경계가 아닌 값이 많아야 하나다. 합32는10인 값 세 개와 나머지2로만 만들 수 있다.0인 값이 하나 있다면 나머지를 모두10으로 해도 합30이므로 평균8을 만족할 수 없다. 따라서2,10,10,10이 최대 자료다.
교사는0과10을 섞으면 무조건 가장 크다는 답을 확인한다. 네 자료를 같은 확률로 고르므로 평균8을 만들려면 합32여야 한다.0과10만 네 칸에 쓰면 합이10의 배수라서32가 될 수 없다.
최소 분산은8,8,8,8에서0이다. 두 자료의 평균은 같지만 값의 퍼짐은 다르다. 이 문항은 같은 평균의 예 두 개를 비교하는 데서 더 나아가, 주어진 개수와 점수 범위에서 더 큰 분산을 만들 수 없는 이유까지 요구한다.
분산은 네 값의 제곱 차를4로 나눈 값으로 정의한다. 자료를 새로 뽑아 추정하는 표본분산 공식을 끼워 넣지 않도록 확률변수를 문제에서 정했다.
출처·착안: Mark Chubb, 「Central Tendencies Puzzles」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.