가상의 물통에 r(t)만큼의 순유입이 있다. r>0이면 유입이고 r<0이면 유출이다. 물이 용량을 넘으려 하면 넘친 양은 밖으로 사라지며, 유출 때 그 물이 돌아오지는 않는다. 6초 후 물의 양을 구하라. 제한 없는 계산값과 용량의 최솟값만 취하면 되는가?
넘치기 전에는 V(t)=5+∫₀ᵗ(6−2s)ds=5+6t−t²이다. 이 값이 12가 되는 첫 시점은 3−√2다. 그 뒤 t=3까지는 순유입이 양수라 용량 12를 유지하면서 초과량이 밖으로 나간다. t=3부터는 순유입이 음수가 되어 12에서 ∫₃ᵗ(6−2s)ds만큼 줄어들므로 12−(t−3)²다. 따라서 6초 후에는 3이 남는다. 제한 없는 식은 이때 5를 주고, 단순히 min(12,5+6t−t²)를 쓰면 이미 넘쳐 사라진 양을 잊어 버린다. 실제로 t=3까지 넘친 양은 제한 없는 최대 14와 용량 12의 차인 2다. 모든 구간에서 실제 양은 음수가 되지 않아 추가 바닥 제한은 필요하지 않다. 물의 양 변화는 유량의 정적분으로 구하되, 넘친 양을 다시 회수하지 않는 조건을 반영한다.
교사 질문: 같은 현재 유입률이라도 이전에 넘쳤는지에 따라 현재 양이 달라지는 이유를 누적량으로 설명하게 하자.
출처·착안: Level 2 Mathematics and Statistics 91262 — Apply calculus methods, 2025. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.