원점을 지나는 평면이 세 좌표축과 같은 예각을 이룬다. 그런 평면이 하나라는 주장을 검토하고 가능한 평면을 모두 구하라.
법선벡터를 n=(a,b,c)라 하면 각 축의 단위 방향과의 내적은a,b,c다. 직선과 평면의 작은 각을 구할 때 법선과의 각을 함께 사용하므로, 세 각이 같다는 조건은
이다. 계수의 부호가 모두 같다는 조건은 아니다.
평면식의 양변을 같은0이 아닌 수로 나누어 a=1로 정하면 다음 네 평면이 남는다.
법선벡터 전체의 부호를 바꾸어도 같은 평면이므로 여덟 부호 조합을 서로 다른 여덟 평면으로 세지 않는다.
각 평면의 법선 길이는√3이고 세 축과 법선의 작은 각의 코사인은1/√3이다. 따라서 세 축과 평면의 각도 서로 같다는 것을 실제로 확인할 수 있다. 같은 크기의 각 정보가 계수의 부호를 잃은 것이다.
교사는 ‘각이 같다’는 말을 방향벡터의 성분이 같다는 식으로 바꾸는 답안을 살펴본다. 작은 각으로 비교했다면 내적의 부호를 그대로 보존하는 방향각 정보와 다르다.
원점을 지난다는 조건도 필요하다. 그 조건을 빼면 위 식의 우변을 여러 실수로 바꾼 평행한 평면들이 가능하다. 각 정보는 평면의 방향을 제한하지만 위치까지 정하지 않는다. 현재의 네 개라는 답은 위치 조건을 함께 썼을 때 성립한다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.