격자에서 점·선·칸을 각각 세면 이차항이 사라진다

n×n 단위정사각형 격자에서 점V, 단위선분E, 작은칸F의 수를 각각 구하라. 점은 격자선 교점 전체, 선분은 이웃한 교점 사이 한 단위 변, 칸은 작은 정사각형만 센다. 바깥 무한영역은칸에포함하지않는다. n≥1이다.

점은(n+1)행·(n+1)열이므로V=(n+1)²다. 가로단위선분은(n+1)행에서n개씩, 세로도같아E=2n(n+1)이다. 작은칸은F=n²다.

각 수는n에대한이차식이지만 V−E+F=(n+1)²−2n(n+1)+n²=1이다. n=1에서4−4+1=1, n=2에서9−12+4=1로확인된다. 점·선·칸을 같은 ‘조각수’라고 섞으면 이 관계를놓친다.

교사 질문은 ‘지금세는대상을그림에표시했는가’다. 이는이격자에서직접증명한관계다. 모든 평면그래프에대한 일반 정리를 이계산만으로 증명했다고 말하지 않는다. 성장도형의수식을눈으로설명하는원문관점을 세 종류의 대상을 세는 새활동으로 확장했다.

착안한 공개 원문: linear & quadratic growths. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.