f는[0,1]에서 연속이다. I=∫_0^1 x f(x)dx를 구한다. x의 평균1/2를 그냥 곱한 답이 이번에는 맞지만, 임의 함수에서도 같은 방식이 가능한지 구별한다.
u=1−x로 치환하면 I=∫_0^1(1−u)f(1−u)du다. 주어진 대칭 조건으로 f(1−u)=f(u)이므로 I=3−I이다. 따라서 I=3/2다.
평균을 따로 곱하는 보편 공식으로 구한 것이 아니다. 대칭인 두 위치x와1−x의 함수값이 같아서 두 곱하는 수를 더하면1이 되는 성질을 사용했다.
대칭 조건을 삭제하면 f(x)=6x가 반례다. 원래 적분은3으로 같지만 x를 곱한 적분은∫_0^1 6x²dx=2다. f=3에서는3/2가 되어 두 결과가 다르다.
답의 숫자만 확인하면 잘못된 보편 공식도 정답처럼 보인다. 채점에서는 변수 치환 뒤 대칭 조건을 쓴 줄을 확인한다. 함수값과 곱하는 수의 관계가 있어야 이번 특별한 값이 정해진다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.