점으로 이상화한 작은 공의 궤적이 y=−x²+6x, 0≤x≤6이라고 하자. 장애물은 높이 y=4에 놓인 수평 선분이며 1≤x≤5를 차지한다. 궤적이 이 선분과 만나는지 판단하라. 두 그래프가 만난다면 충돌로 정한다.
장애물의 한쪽 끝 x=1에서 공의 높이는 5다. 이 값만 보고 ‘장애물보다 높으니 피한다’고 끝내면 다른 위치를 검사하지 않은 셈이다. y=4를 대입하면 x²−6x+4=0이고, 두 교점의 가로 좌표는 3−√5와 3+√5다. 첫 값은 약 0.764, 둘째는 약 5.236이다. 두 값 모두 장애물의 가로 구간 [1,5] 밖이다. 따라서 주어진 선분과 공의 궤적은 만나지 않는다.
더 강한 확인도 가능하다. [1,5]에서 y−4=5−(x−3)²이고 |x−3|≤2이므로 y−4≥1이다. 장애물이 차지하는 구간 전체에서 공은 4보다 높다. 장애물을 [0,6]으로 늘리면 앞의 두 교점이 모두 포함되어 결론이 바뀐다. 높이는 그대로인데 폭이 달라져서다.
교사 질문은 ‘끝점 한 곳만 검사해도 언제 충분할까’다. 일반 함수에서는 충분하지 않다. 이 문항에서 충분한 근거는 구간 전체의 최소 높이를 구했거나 두 교점과 장애물의 구간을 비교했다는 데 있다. 실제 크기가 있는 공의 충돌은 반지름 정보도 필요하므로 여기서는 점이라는 조건을 앞에 둔다.
착안한 공개 원문: The Three Acts Of A Mathematical Story. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.