복소수 i를 대입하면 계수가 모두 실수인 나머지 두 항이 보인다

P(x)=x⁷+2x⁴−3x²+5를 x²+1로 나눈 나머지를 구합니다. 나머지를 R(x)=ax+b(a,b는 실수)로 두면 P(i)=10−i=ai+b입니다. 실수부와 허수부를 비교하여 a=−1,b=10, 따라서 R(x)=10−x입니다. 실근이 없는 나누는 식도 다항식 항등식에 복소수를 대입해 확인할 수 있습니다.

P(x)=x^7+2x^4-3x^2+5

P를 x²+1로 나누었을 때 나머지를 구하라. 나누는 식이 실근을 갖지 않으므로 나머지 정리를 사용할 수 없다는 주장을 검토한다.

나머지는 ax+b이고 a,b는 실수다. P=(x²+1)Q+ax+b에 x=i를 대입하면 P(i)=ai+b다. i²=−1, i⁴=1, i⁷=−i이므로 P(i)=10−i다.

실수부와 허수부를 비교하여 a=−1, b=10을 얻는다.

\boxed{R(x)=10-x}

계수가 모두 실수라는 조건 덕분에 한 복소수 값에서 두 계수를 읽었다. 직접 확인하면 x²을 −1로 바꿀 때 x⁷은 −x, x⁴는 1이므로 같은 나머지가 나온다. x=−i에서는 10+i로 다시 맞는다.

식에 복소수를 넣은 것이 실수 입력에서의 나눗셈 결과를 바꾸지는 않는다. 다항식 항등식은 복소수 대입에서도 성립한다. 허수부를 −i라고 적은 답에는 허수부가 실수 −1이라는 표기를 확인한다.

출처·착안: Factoring Non-Monic Quadratics. 문항과 풀이는 새로 작성했다.