초점은 F=(0,0)으로 같다. 첫 포물선의 준선은 x=2, 둘째의 준선은 y=2다. 두 포물선의 공통점을 모두 구하라.
두 이차식을 연립하므로 교점은 네 개일 것이라는 답을 검토한다.
두 식을 빼면
각 포물선에서는 x≤1,y≤1이므로 x+y=4인 경우는 불가능하다. 따라서 x=y=t다. t²+4t−4=0에서
두 점을 얻는다.
인수 하나가 실제 조건에 맞는가
서로 다른 두 인수에서 각각 답을 찾았다는 이유로 두 경우를 자동으로 허용하지 않는다. 제곱이0 이상이라는 사실에서 각 포물선의 좌표 범위를 이미 알고 있어 x+y=4를 바로 제외할 수 있다.
두 t값은 모두1보다 작아 범위 조건도 맞는다. 원래의 두 식에 대입하면 t²=4(1−t)를 만족한다. 초점에서의 거리와 준선까지 거리도 √2|t|와2−t로 같아 정의와 연결된다.
교사는 포물선의 초점·준선을 식으로 바꾸는 줄과 연립 결과를 원래 조건에 넣는 줄을 각각 확인한다. 최대 가능 개수라는 계산의 예상과 이번 실제 개수는 다르다. 같은 초점이라 곡선이 하나라는 결론도 두 준선이 다른 이 예에서는 맞지 않는다. 공통 초점과 같은 포물선을 혼동하지 않는 질문이다.
다른 풀이도 가능하다. 공통점에서는 같은 초점까지의 거리가 두 준선까지 거리와 같아야 한다. x≤1,y≤1이므로 그 두 거리는2−x,2−y다. 이 둘이 같아 x=y를 바로 얻고 같은 이차식으로 두 점을 구한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.