도함수로 나누어떨어지는 다항식은 같은 일차식의 거듭제곱이다

P(x)=L(x)P'(x),\qquad P\text{는 차수 }n\ge1\text{인 실수 다항식}.

L도 실수 다항식이다. 가능한 P를 모두 구하라. P′가0인 곳에서 분수 P/P′를 바로 계산하지 않는다.

두 차수를 비교하면 L의 차수는1이다. 최고차항 계수를 비교하면 x의 계수는1/n이므로 L=(x−a)/n인 실수 a가 있다. Q(t)=P(t+a)로 옮기면 nQ=tQ′다.

Q=Σcⱼtʲ를 넣어 항마다 비교하면 (n−j)cⱼ=0이다. j=n 이외의 계수는 모두0이다.

\boxed{P(x)=c(x-a)^n\qquad(c\ne0,\ a\in\mathbb R).}

이 식의 도함수는 nc(x−a)ⁿ⁻¹여서 원래 조건을 만족한다. n=1도 포함하며 이때 도함수는0이 아닌 상수다. 나머지가0이라는 다항식 등식은 도함수의 근에서도 성립한다. 근에서 정의되지 않는 분수의 값으로 설명할 필요가 없다. 차수·최고차항·이동한 뒤의 각 계수 조건을 세 단계로 남긴다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Dividing Polynomials Using the Box Method Puzzles」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.