f(x)=x⁴−2x²의 정의역은 실수 전체다. ‘우함수에서 f(a)=f(b)이면 a=b 또는 a=−b이다’라는 주장이 맞는지 판단하라.
우함수의 정의는 모든 x에 대해 f(−x)=f(x)이라는 것이다. 따라서 서로 반대인 두 입력이 같은 값을 준다는 방향은 맞지만, 같은 값을 주는 모든 입력을 설명하는 것은 아니다.
0과 √2는 서로 같지도, 서로 반대도 아니다. 이 두 입력만으로 주장을 반박할 수 있다.
구조를 더 보려면 t=x²로 놓아 f(x)=t(t−2)를 읽는다. 서로 다른 두 t값인 0과 2가 같은 출력 0을 주고, 각 양수 t에는 다시 부호가 다른 두 x가 대응한다.
교사는 y=x²에서는 왜 같은 주장이 성립하는지도 함께 물을 수 있다. x²=a²라는 등식은 부호만 다른 두 경우를 남기지만, 우함수 전체가 반드시 그처럼 작동하는 것은 아니다.
정의에서 보장하는 관계와 특정 예시에서 추가로 성립하는 성질을 구분해 쓰게 하자. ‘좌우 대칭’이라는 그래프 설명만으로 출력의 중복 개수까지 정할 수 없다는 점을 확인하는 문항이다.
출처·착안: 第三章 函数小结 第1课时. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.